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15 novembro 2024 01h05

Os juros compostos e o número de Euler

Os juros compostos e o número de Euler

A taxa de juro é uma das principais variáveis para calcular a cotação de um contrato futuro. O preço futuro tende a ser mais alto que o preço atual (conhecido como "spot” ou "à vista”) por causa da taxa de juro risco aplicada sobre o período até ao vencimento, refletindo o custo de oportunidade de manter o capital investido. Ao comprar um contrato futuro, o investidor não precisa desembolsar o capital imediatamente, como aconteceria ao comprar hoje um índice acionista ou as ações que compõem o índice. Dessa forma, pode aplicar esse capital a uma dada taxa de juro. Quanto maior o prazo até ao vencimento de um contrato futuro de um dado ativo financeiro, maior o efeito da taxa de juro, pois ela é aplicada sobre um período mais longo. Na compra de contratos futuros de índices acionistas ou de ações individuais, os dividendos a serem pagos são também uma variável a considerar.

 

 

De acordo com o valor atual do S&P 500 de 6000 pontos (dia 11 de novembro de 2024), considerando uma taxa de juro de 4,60% (SOFR, Secured Overnight Financing Rate, a taxa overnight garantida por títulos da dívida pública norteamericana), um desconto de 6 pontos de dividendos e os 40 dias que restam para o vencimento, a cotação teórica do contrato futuro subjacente mais próximo, para o dia 20 de dezembro de 2024, é de 6024,25 (mais precisamente 6024,29, mas o tick size, ou seja, a variação mínima do contrato é de 0,25 pontos). A cotação do futuro depende do valor atual ponderado pela taxa de juro e pelos dividendos a serem pagos no período em causa, utilizando-se no cálculo a função exponencial, pois ela captura as variações contínuas que ocorrem em mercados altamente líquidos e cotados em contínuo. Uma variável discreta não é aconselhável porque não captura as variações contínuas.

 

 

A fórmula de cálculo é , sendo "F” a cotação do contrato futuro, "S” o preço spot, "e” a função exponencial, "r” a taxa de juro, "E” os dividendos e "T” o período de tempo. Assim, , resultando em 6024,29. No entanto, no caso de uma variável discreta, o juro seria pago apenas uma vez, no vencimento do contrato, ou seja, no dia 20 de dezembro, sendo a fórmula de . Substituindo as variáveis pelos valores, , a cotação do contrato futuro seria de 6024,216. A diferença é mínima, mas tornar-se-ia substancial para taxas de juro superiores a dois dígitos e em prazos bem mais longos.

 

 

Um dos irmãos Bernoulli, Jacob, ao tentar entender como o dinheiro cresce quando o juro é composto de forma contínua (ou seja, é capitalizado indefinidamente), descobriu o número Euler. Jacob Bernoulli percebeu que, ao aplicar juros infinitamente num ano e à taxa de juro de 100%, os juros cresciam a ritmos decrescentes, mas o valor total não cresceu indefinidamente, tendo estabilizado numa constante — o número de Euler, 2,7182818284…. Esse número foi formalizado mais tarde por Leonhard Euler, tornando-se numa das constantes fundamentais da matemática, tal como p (pi), 3,1416…. Johann Bernoulli, o irmão Bernoulli mais novo e que viveu muito mais tempo, viria a ter como discípulo Leonhard Euler, o qual formalizou a identidade de Euler, , famosa por ser constituída por cinco constantes fundamentais da matemática:  e ,  i,  p , 1 e 0, ou seja, o número de Euler (2,718…), o número imaginário i (, o p (3,14…., relação entre o perímetro da circunferência e seu diâmetro), 1 e 0.

 

 

Assim, num empréstimo de um euro a um ano com uma taxa de juro de 100%, se o juro for pago apenas uma vez no vencimento, receberemos 2 euros no final (1 euro do nosso capital, acrescido de 1 euro de juro). Se taxa for composta duas vezes (pagamento semestral), então reembolsaríamos 50 cêntimos ao fim de seis meses, ficando a capitalizar um euro e meio por mais meio ano, gerando um juro de 75 cêntimos, embolsando no final um total 2,25 euros. O capital inicial é sempre um euro, mas agora os juros foram de 1,25 euros, porque os 50 cêntimos recebidos no final do semestre ficaram a capitalizar, rendendo 25 cêntimos. E assim por diante… 

 

 

PAULO MONTEIRO ROSA, Economista Sénior do Banco Carregosa